Question

12．已知函数f（x）=（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判证函数f（x）的奇偶性；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）＞ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由由2^x-1≠0，可得x≠0，可得函数的定义域；
（2）f（x）为偶函数．由奇偶性的定义，首先判断定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到结论；
（3）对x讨论，当0＜x≤1时，当-1≤x＜0时，运用参数分离和函数的单调性，即可得到a的范围．

解答 解：（1）由2^x-1≠0，可得x≠0，
即有函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}；
（2）f（x）为偶函数．
理由如下：函数的定义域关于原点对称，
f（x）=（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$•$\frac{1}{2}$x，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$•（-$\frac{1}{2}$x）
=$\frac{1+{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$•（-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$•$\frac{1}{2}$x=f（x），
则f（x）为偶函数；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）＞ax恒成立，
当0＜x≤1时，a＜$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$恒成立，
即有a＜$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$的最小值．
由$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$在（0，1]递减，可得最小值为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
则a＜$\frac{3}{2}$；
当-1≤x＜0时，a＞$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$恒成立，
即有a＞$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$的最大值．
由$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$在[-1，0）递减，可得最大值为-2+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
则a＞-$\frac{3}{2}$．
综上可得-$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$．
即有a的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查函数的性质和应用，考查函数的定义域和奇偶性及单调性的运用，考查恒成立问题的解法，属于中档题．