Question

4．已知点P（2，-1）．
（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等．求直线m的方程：
（2）直线n经过点P．且坐标原点到该直线的距离为2．求直线n的方程．

Answer 1

分析 （1）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点（0，0），P（2，-1）；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，把P（2，-1）代入，得a=1．由此能求出过点P（2，-1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求直线n的方程．

解答 解：（1）当横截距a=0时，纵截距b=0，
此时直线过点（0，0），P（2，-1），
∴直线方程为y=-$\frac{1}{2}$x；
当横截距a≠0时，纵截距b=a，
此时直线方程设为x+y=a，
把P（2，-1）代入，得a=1，
∴所求的直线方程为：x+y-1=0．
综上：过点P（2，-1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=-$\frac{1}{2}$x或x+y-1=0．
（2）直线n的方程为x=2时，满足题意；
直线的斜率存在时，设直线方程为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，
坐标原点到该直线的距离为$\frac{|-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{3}{4}$，∴方程为3x-4y-10=0，
综上，直线n的方程为x=2或3x-4y-10=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意截距式方程的合理运用．