Question

13．椭圆上上存在一点P，使得PF₁=4PF₂，则离心率e的范围是[$\frac{3}{5}$，1）．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），运用椭圆的定义和椭圆上一点到焦点的距离的范围，结合离心率公式和范围，即可得到所求范围．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
由椭圆的定义可得PF₁+PF₂=2a，
又PF₁=4PF₂，可得
PF₂=$\frac{2}{5}$a，
由a-c≤$\frac{2}{5}$a≤a+c，
可得c≥$\frac{3}{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{3}{5}$，
由于0＜e＜1，即有$\frac{3}{5}$≤e＜1．
故答案为：[$\frac{3}{5}$，1）．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意定义法和离心率公式的运用，属于中档题．