Question

17．已知在（x，y）满足方程（x-3）²+（y-4）²=9
（1）求3x+4y的最大值和最小值；
（2）求$\frac{y}{x}$的取值范围；
（3）求（x+1）²+y²的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角换元，即可求3x+4y的最大值和最小值；
（2）设$\frac{y}{x}$=k，则y=kx，根据圆心（3，4）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
（3）（x+1）²+y²是圆上点与（-1，0）距离之平方的最小值，答案可得．

解答 解：（1）令x=3+3cosα，y=4+3sinα，
∴3x+4y=3（3+3cosα）+4（4+3sinα）=25+9cosα+12sinα=25+15sin（α+θ），
∴3x+4y的最大值为40，最小值为10；
（2）设$\frac{y}{x}$=k，则y=kx，根据圆心（3，4）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，可得$\frac{|3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，∴k=$\frac{7}{24}$，∴k≥$\frac{7}{24}$；
（3）（x+1）²+y²是圆上点与（-1，0）距离之平方的最小值，即（$\sqrt{（3+1）^{2}+（4-0）^{2}}$-3）²=41-24$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．