Question

19．函数f（x）=（1-x）|x-3|在（-∞，a]上取得最小值-1，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． $[{2-\sqrt{2}，\;2}]$
• C． $[{2，\;2+\sqrt{2}}]$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由零点分段法，我们可将函数f（x）=（1-x）|x-3|的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数a的集合

解答 解：∵函数f（x）=（1-x）|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x≥3}\\{{x}^{2}-4x+3，x＜3}\end{array}\right.$，
其函数图象如下图所示：
由函数图象可得：
函数f（x）=（1-x）|x-3|在（-∞，a]上取得最小值-1，
当x≥3时，f（x）=-x²+4x-3=-1，解得x=2+$\sqrt{2}$，
当x＜3时，f（x）=x²-4x+3=-1，解得x=2，
实数a须满足2≤a≤2+$\sqrt{2}$．
故实数a的集合是[2，2+$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据分段函数图象分段画的原则，画出函数的图象是解答本题的关键．