Question

14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，$cosB=\frac{3}{5}$且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=21$
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=7，求角C．

Answer 1

分析 （1）先求出ac，求出sinB，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理计算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cosB$=$ac•cosB=\frac{3}{5}ac=21$，∴ac=35…（2分）
又∵$cosB=\frac{3}{5}，且B∈（0，π）$，∴$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\frac{4}{5}$，…（4分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×35×\frac{4}{5}=14$…（6分）
（2）由（1）知∴ac=35，又a=7，∴c=5
又余弦定理得${b^2}=49+25-2×7×5×\frac{3}{5}=32$，∴$b=4\sqrt{2}$…（8分）
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}，即\frac{{4\sqrt{2}}}{{\frac{4}{5}}}=\frac{5}{sinC}$，∴$sinC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
又∵a＞c，∴$C∈（0，\frac{π}{2}）$∴$C=\frac{π}{4}$  …（12分）

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，是一道基础题．