Question

（2009•孝感模拟）已知向量

a

=（cos x，0），

b

=（0，sin x），记函数f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x，
（1）求函数f（x）的最大值和取最小值；
（2）若不等式|f（x）-t|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求实属t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x=1+sin2x结合-1≤sin2x≤1可求函数的最值
（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]可得sin2x∈[0，1]，而|f（x）-t|=|sin2x-t+1|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，可得t-3＜sin2x＜1+t，从而可求t的范围

解答：解：（1）∵f（x）=（

a

+

b

）²+sin 2x=1+sin2x
∵-1≤sin2x≤1
∴0≤f（x）≤2
∴函数f（x）的最小值是0，f（x）的最大值是2
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴sin2x∈[0，1]
∵|f（x）-t|=|sin2x-t+1|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴t-3＜sin2x＜1+t
∴

t-3≤0 t+1≥1

∴0≤t≤3

点评：本题主要考查了平面向量的数量积的基本运算及正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题