Question

14．已知函数f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx，g（x）=f（x）-2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值；
（2）若对?x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出a的范围．

解答 解：（1）函数$f（x）=（a-\frac{1}{2}）{x^2}+lnx$的定义域为（0，+∞），
当a=0时，$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+lnx$，$f'（x）=-x+\frac{1}{x}=\frac{{-{x^2}+1}}{x}=\frac{-（x+1）（x-1）}{x}$；
当$2b≤\frac{16}{3}$，有f'（x）＞0；当$b≤\frac{8}{3}$，有f'（x）＜0，
∴f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，
又$f（\frac{1}{e}）=-1-\frac{1}{{2{e^2}}}$，$f（e）=1-\frac{e^2}{2}$，$f（\;1\;）=-\frac{1}{2}$，
∴${f_{min}}（x）=f（e）=1-\frac{e^2}{2}$，${f_{max}}（x）=f（\;1\;）=-\frac{1}{2}$．
（2）$g（x）=f（x）-2ax=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$，
则g（x）的定义域为（0，+∞），
$g'（x）=（2a-1）x-2a+\frac{1}{x}=\frac{{（2a-1）{x^2}-2ax+1}}{x}=\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$．
①若$a＞\frac{1}{2}$，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，${x_2}=\frac{1}{2a-1}$，
当x₂＞x₁=1，即$\frac{1}{2}＜a＜1$时，
在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x₂）上有g'（x）＜0，
在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，
并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂≤x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，
有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若$a≤\frac{1}{2}$，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，
只须满足$g（1）=-a-\frac{1}{2}≤0$$⇒a≥-\frac{1}{2}$，
∴a的范围是$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$，
综合①②可知，当$a∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$时，对?x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．