Question

9．已知x≠0，求证2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$$≥2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由x≠0，可得2x²＞0，$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，运用二元均值不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b＞0，a=b取得等号），即可得证．

解答 证明：由x≠0，可得2x²＞0，$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
即有2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当2x²=$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x=±$\root{4}{\frac{1}{2}}$时，取得等号．
则2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$$≥2\sqrt{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，考查运算能力，属于基础题．