Question

1．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l₁：y=$\sqrt{3}$（x-c）与C的左右两支交于一点，l₂：y=2$\sqrt{2}$（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （2，3）
• C． （1，2）
• D． （$\sqrt{5}$，3）

Answer 1

分析 根据双曲线的性质结合直线和双曲线的位置关系，得到直线斜率和渐近线斜率之间的关系即可得到结论．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，焦点坐标F₁（-c，0），F₂（c，0），
则直线l₁：y=$\sqrt{3}$（x-c）过双曲线的右焦点F₂（c，0），
l₂：y=2$\sqrt{2}$（x+c）过双曲线的左焦点F₁（-c，0），
若l₁：y=$\sqrt{3}$（x-c）与C的左右两支交于一点，
则直线的斜率$\sqrt{3}$满足$\frac{b}{a}$$＞\sqrt{3}$．
l₂：y=2$\sqrt{2}$（x+c）与C的左支交于两点，
则直线的斜率2$\sqrt{2}$满足$\frac{b}{a}$＜2$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{3}$＜$\frac{b}{a}$＜2$\sqrt{2}$，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，
∵$\sqrt{3}$＜$\frac{b}{a}$＜2$\sqrt{2}$，
∴3＜（$\frac{b}{a}$）²＜8，
4＜1+（$\frac{b}{a}$）²＜9，
则2＜$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＜3，
即2＜e＜3，
故离心率的取值范围是（2，3），
故选：B

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和双曲线的位置关系转化为直线和渐近线斜率之间的关系是解决本题的关键．