Question

16．a，b都是正数，求证（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³．

Answer 1

分析 由a，b都是正数，运用均值不等式，可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，a²+b²≥2ab，a³+b³≥2$\sqrt{{a}^{3}{b}^{3}}$，运用累乘法，即可得证．

解答 证明：a，b都是正数，可得
a+b≥2$\sqrt{ab}$，
a²+b²≥2ab，
a³+b³≥2$\sqrt{{a}^{3}{b}^{3}}$，
三式相乘，可得（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8$\sqrt{ab}$•ab•$\sqrt{{a}^{3}{b}^{3}}$=8a³b³，
当且仅当a=b，取得等号．
即有（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二元均值不等式和不等式的性质，考查运算和推理能力，属于中档题．