Question

17．已知圆C的圆心在直线x-2y=0上，且圆C经过点A（2，5）和B（1，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点P（5，-1）且被圆C截得的弦长为4$\sqrt{3}$的直线l的方程；
（3）若M点是直线x+y+2=0上的动点，过点M作圆C的切线ME，MF，切点分别为E，F，若四边形MECF的面积取得最小值，求此时的点M的坐标及切线ME的长度．

Answer 1

分析 （1）设圆心C（a，b），由已知列出方程组求出圆心C（4，2），半径r=$\sqrt{13}$，由此能求出圆C的方程．
（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=5；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-5）-1，求出圆心C（4，2）到直线l的距离d，由直线l被圆C截得的弦长为4$\sqrt{3}$，能求出直线l的方程．
（3）推导出四边形MECF的面积为S=$\sqrt{13}$ME，当ME最小时，S最小，由勾股定理知只要求得MC的最小值即可，由此能求出结果．

解答 解：（1）设圆心C（a，b），
∵圆C的圆心在直线x-2y=0上，且圆C经过点A（2，5）和B（1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2b=0}\\{\sqrt{（a-2）^{2}+（b-5）^{2}}=\sqrt{（a-1）^{2}+（b-4）^{2}}}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=2，
∴圆心C（4，2），半径r=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-5）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴圆C的方程为（x-4）²+（y-2）²=13．
（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=5，
把x=5代入圆C，得直线l与圆的交点为（5，2-2$\sqrt{3}$），（5，2+2$\sqrt{3}$），
此时直线l被圆C截得的弦长为4$\sqrt{3}$．    
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-5）-1，
圆心C（4，2）到直线l的距离d=$\frac{|4k-2-5k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|-k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵直线l被圆C截得的弦长为4$\sqrt{3}$，
∴r²=d²+（$\frac{4\sqrt{3}}{2}$）²，即$13=\frac{{k}^{2}+6k+9}{{k}^{2}+1}+12$，
解得k=-$\frac{4}{3}$．
∴直线l的方程为y=-$\frac{4}{3}$（x-5）-1，即4x+3y-17=0．
∴直线l的方程为x=5或4x+3y-17=0．
（3）由图象求得四边形MECF的面积为S=2×$\frac{1}{2}$×ME×EC=$\sqrt{13}$ME，
当ME最小时，S最小，由勾股定理知只要求得MC的最小值即可，
经过C作直线x+y+2=0的垂线，垂足即为M点坐标．
此时直线MC⊥直线l，
∵k_l=-1，∴k_MC=1，∴直线MC的方程：y-2=x-4，即x-y-2=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得x=0，y=-2，∴M（0，-2），
∴|MC|=$\sqrt{（0-4）^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴|ME|=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{13}）^{2}}$=$\sqrt{19}$．
故当四边形MECF的面积取得最小值时，点M的坐标为（0，-2），切线ME的长度为$\sqrt{19}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，考查当四边形MECF的面积取得最小值时，点M的坐标及切线ME的长度的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质及点到直线的距离公式的合理运用．