Question

7．将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再将图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到函数y=sinx的图象．
（1）直接写出f（x）的表达式，并求出f（x）在[0，π]上的值域；
（2）求出f（x）在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，得出结论．
（2）根据f（x）的解析式，以及正弦函数的单调性，得出结论．

解答 解：（1）由题意可得，把函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象，
再把横坐标缩短为原来的2倍，可得y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）]=cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）的图象，
∴$f（x）=cos（\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}）$．
∵0≤x≤π，∴$-\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}$，∴$\frac{1}{2}≤cos（\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}）≤1$，∴$f（x）∈[\frac{1}{2}，1]$，
当x=0时，$f（x）=\frac{1}{2}$；当$x=\frac{2π}{3}$时，f（x）=1．
（2）令$2kπ-π≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}≤2kπ$，k∈Z，解得$4kπ-\frac{4}{3}π≤x≤4kπ+\frac{2}{3}π$，k∈Z，
所以单调递增区间为$[4kπ-\frac{4}{3}π，4kπ+\frac{2}{3}π]$，k∈Z；
同理单调递减区间为$[4kπ+\frac{2}{3}π，4kπ+\frac{8}{3}π]$，k∈Z，
∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调递增区间为$[0，\frac{2π}{3}]$，单调递减区间为$[\frac{2π}{3}，π]$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．