Question

7．M是椭圆T：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，已知|MF|的最大值为3+$\sqrt{5}$，最小值为3-$\sqrt{5}$．
（I）求椭圆T的标准方程；
（II）求△ABM的面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）由椭圆性质可知$|{{M}F}|=\frac{c}{a}（{\frac{a^2}{c}-{x_{M}}}）=a-\frac{c}{a}{x_{M}}$，其中c＞0，c²=a²-b²，又x _M∈[-a，a]，故|MF|∈[a-c，a+c]，则$\left\{\begin{array}{l}a+c=3+\sqrt{5}\\ a-c=3-\sqrt{5}\end{array}\right.$，解之得a，c的值，进一步得到椭圆T的方程．
（II）由题知直线AB的方程为$y=\frac{2}{3}x+2$，设直线l：$y=\frac{2}{3}x+m$与椭圆T相切于x轴下方的点M₀，则△ABM₀的面积为△ABM的面积的最大值S₀，联立直线和椭圆方程即可求得m的值，再求出直线AB与直线l距离，则△ABM的面积的最大值可求．

解答 解：（I）由椭圆性质可知$|{{M}F}|=\frac{c}{a}（{\frac{a^2}{c}-{x_{M}}}）=a-\frac{c}{a}{x_{M}}$，其中c＞0，c²=a²-b²，
∵x _M∈[-a，a]，故|MF|∈[a-c，a+c]，则$\left\{\begin{array}{l}a+c=3+\sqrt{5}\\ a-c=3-\sqrt{5}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ c=\sqrt{5}\end{array}\right.$．
故b²=a²-c²=4，椭圆T的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．

（II）由题知直线AB的方程为$y=\frac{2}{3}x+2$，设直线l：$y=\frac{2}{3}x+m$与椭圆T相切于x轴下方的点M₀（如上图所示），则△ABM₀的面积为△ABM的面积的最大值S₀．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$即$\frac{2}{9}{x}^{2}+\frac{m}{3}x+\frac{{m}^{2}}{4}-1=0$，则$△=\frac{{m}^{2}}{9}-4×\frac{2}{9}（\frac{{m}^{2}}{4}-1）=0$解得m=$-2\sqrt{2}$．
此时，直线AB与直线l距离为$\frac{{2+2\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+\frac{4}{9}}}}=\frac{{3（{2+2\sqrt{2}}）}}{{\sqrt{13}}}$，而$|{{A}{B}}|=\sqrt{13}$，${S_0}=\frac{1}{2}•\sqrt{13}•\frac{{3（{2+2\sqrt{2}}）}}{{\sqrt{13}}}=3（{1+\sqrt{2}}）$．
∴△ABM的面积的最大值是$3（1+\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查了点到直线的距离公式，是中档题．