Question

19．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（1，x），$\overrightarrow{b}$=（2x+3，-x）（x∈R）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为锐角，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出x，得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标，再计算$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，再计算|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|；
（2）令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$得出x的范围，再去掉$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$同向的情况即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，∴-x-x（2x+3）=0，解得x=0或x=-2．
当x=0时，$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（3，0），∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（-2，0），∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2．
当x=-2时，$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（2，-4），∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$．
综上，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2或2$\sqrt{5}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为锐角，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，
∴2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3．
又当x=0时，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，
∴x的取值范围是（-1，0）∪（0，3）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，向量平行与坐标的关系，属于中档题．