Question

3．如图，△ABC是直角三角形，∠C为直角，D是斜边AB上一点，以BD为直径的圆O与AC相切于点E，与BC相交于点F．
（1）求证：BE²=BC•BD；
（2）若DE=6，CF=4，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）结合弦切角定理，圆周角定理，及三角形相似的判定定理，可得△BEC∽△BDE，再由相似三角形的性质，得到BE²=BC•BD；
（2）若DE=6，CF=4，根据Rt△CFE∽Rt△EDB，△FEC∽△EBC，可得$sin∠CEF=sin∠CBE=\frac{2}{3}$，进而求出CE，BC，BE，BD的长，再由$\frac{AE}{AE+CE}=\frac{OE}{BC}=\frac{2}{3}$，可得答案．

解答 证明：（1）∵圆O与AC相切于点E，
∴∠BEC=∠BDE．
∵BD是圆O的直径，
∴∠BED=90°，
又∵∠C=90°，
∴△BEC∽△BDE----3
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{BE}{BD}$
∴BE²=BC•BD------5
解：（2）∵∠CFE=∠EDB，
∴Rt△CFE∽Rt△EDB，
∴$\frac{CF}{DE}=\frac{CE}{BE}=\frac{2}{3}$，
∴$sin∠CBE=\frac{2}{3}$，
∵圆O与AC相切于点E，
∴△FEC∽△EBC，
∴$sin∠CEF=sin∠CBE=\frac{2}{3}$
∴EF=6，
∴$CE=\sqrt{E{F^2}-C{F^2}}=2\sqrt{5}$------7
又CE²=CF•CB，
∴BC=5，
∴BE²=CB²+CE²=45，
又∴BE²=BC•BD，
∴BD=9，
∴$OE=\frac{9}{2}$，
∵圆O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴$\frac{AE}{AE+CE}=\frac{OE}{BC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AE}{{AE+2\sqrt{5}}}=\frac{{\frac{9}{2}}}{5}$，
∴$AE=18\sqrt{5}$------10

点评 本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，弦切角定理，圆周角定理，是平面几何的综合应用，难度较大．