Question

8．设A是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在第一象限内的点，F为其右焦点，点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，设∠ABF=$\frac{π}{6}$则双曲线离心率是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 确定△AOF是等边三角形，可得A（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，化简，即可求出双曲线离心率．

解答 解：∵点A关于原点O的对称点为B，
∴OA=OB，
∵AF⊥BF，∠ABF=$\frac{π}{6}$，
∴△AOF是等边三角形，
∴A（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
∴b²c²-3a²c²=4a²b²，
∴（c²-a²）c²-3a²c²=4a²（c²-a²），
∴e⁴-8e²+4=0，
∵e＞1，∴e=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查双曲线离心率，考查双曲线方程的运用，确定A的坐标是关键．