Question

13．设a是实数，函数f（x）=e^2x+|e^x-a|（x∈R）．
（1）求证；f（x）不是奇函数；
（2）当a≤0时，解关于x的不等式 f（x）＞a²；
（3）求函数f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；
（2）当a≤0，e^2x+|e^x-a|=e^2x+e^x-a＞a²，然后解不等式f（x）＞a²，求出x的取值范围；
（3）通过当a≤0，0$≤a≤\frac{1}{2}$，a$≥\frac{1}{2}$，分别求函数f（x）的值域（用a表示）即可．

解答 （1）证明：假设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
而x∈R，则f（0）=0，而f（0）=e⁰+|e⁰-a|=1+|1-a|≠0，故假设不成立，
从而函数f（x）不是奇函数．
（2）当a≤0，e^2x+|e^x-a|=e^2x+e^x-a＞a²
则（e^x-a）（e^x+a+1）＞0，
而（e^x-a）＞0，则e^x＞-a-1，
当a∈[-1，0）时，不等式的解为：x∈R．
当a＜-1时，不等式的解为：x＞ln[-（a+1）]；
 （3）设e^x=t，则t＞0，y=f（x）=t²+|t-a|，
当a≤0时，y=f（x）=t²+t-a在t＞0时单调增，则f（x）＞f（0）=-a；
当0$≤a≤\frac{1}{2}$时，y=f（x）=t²+t-a≥f（a）=a²；
当a$≥\frac{1}{2}$时，y=f（x）=t²+t-a≥f（$\frac{1}{2}$）=a-$\frac{1}{4}$；
故当a≤0时，f（x）的值域为（-a，+∞）；
当0$≤a≤\frac{1}{2}$时，f（x）的值域为[a²，+∞）；
当a$≥\frac{1}{2}$时，f（x）的值域为[a-$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．