Question

【题目】如图，在中，，点P为的中点，交于点D，现将沿翻折至，使得平面平面.

（1）若Q为线段的中点，求证：平面；

（2）在线段上是否存在点E，使得二面角大小为.若存在，请求出点E所在位置，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；E为线段的中点

【解析】

（1）推导出，，从而，推导出，，进而平面，由此能求出，，由此能证明平面．

（2）推导出，，得平面，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，当点为线段的中点时，二面角的大小为．

解：（1）证明：在中，，，

将沿翻折至，，

又，平面，

平面，，

在中，Q为的中点，，

又，平面

（2）在，，，又沿翻折至，

且平面平面，由（1）有，得平面.

以点P为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则，

.

设，则，所以

设平面的一个法向量为

则由即

可得

可取平面的一个法向量为

则，解得.

所以当点E为线段的中点时，二面角大小为.