Question

【题目】如图，已知双曲线的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，轴，，（O为坐标原点）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；定值为

【解析】

（1）由直线和方程联立求出点的坐标，再根据，即，即可求出的值；

（2）联立直线和直线的方程求出点，联立直线和直线的方程求出点，即可得到的表达式，再根据点在双曲线上，化简即可得到，即命题得证．

（1）设，因为，所以．

由题意可得，直线方程为，直线的方程为，联立解得，而直线的方程为，则∴

又因为，所以，解得，故双曲线C的方程为

（2）由（1）知，则直线的方程为，即

因为直线的方程为，所以直线与的交点，

直线与直线的交点为，则．

因为是C上一点，则代入上式得

，故所求定值为．