Question

曲线y=x 

3

2

与y=

x

在[0，2]上所围成的阴影图形绕X轴旋转一周所得几何体的体积为（　　）

• A．2π
• B．3π
• C．

  7

  2

  π
• D．

  5

  2

  π

Answer 1

分析：求出曲线y=x 

3

2

与y=

x

交点的坐标，由定积分的几何意义得所求体积为V=π

∫

1 0

（x-x³）dx+π

∫

2 1

（x³-x）dx，再根据积分计算公式加以计算，可得答案．

解答：解：∵曲线y=x 

3

2

与y=

x

交点为0（0，0）和A（1，1），
∴所求阴影图形绕X轴旋转一周所得几何体的体积为
V=π

∫

1 0

（x-x³）dx+π

∫

2 1

（x³-x）dx
=π（

1

2

x²-

1

4

x⁴）

|

1 0

+π（

1

4

x⁴-

1

2

x²）

|

2 1

=π（

1

2

×12-

1

4

×14）+π[（

1

4

×24-

1

2

×22）-（

1

4

×14-

1

2

×12）]
=

1

4

π+

9

4

π=

5π

2

．
故选：D

点评：本题求曲线围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题．