Question

（2013•海淀区二模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=-

x

a

（a＞0）
（Ⅰ）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线与曲线y=g（x）在点P （x₀，g（x₀））处的切线平行，求实数x₀的值；
（Ⅱ）若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x） 

3

2

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把a=1导入解析式，并求出f′（x）和g′（x），根据切线平行对应的斜率相等列出方程，求出x₀的值；
（II）根据条件设F（x）=f（x）-g（x）-

3

2

，再把条件进行转化，求出对应的解析式和导数，求出临界点，并根据导数与函数单调性的关系列出表格，再对a进行分类讨论，分别判断出函数的单调性，再求出对应的最小值，列出不等式求出a的范围．

解答：解：（I）把a=1代入得，g(x)=-

1

x

，
则f′(x)=

1

x

，g′(x)=

1

x2

∵f（x）在点M （x₀，f（x₀））处的切线与g（x）在点P （x₀，g（x₀））处的切线平行，
∴

1

x0

=

1

x02

，解得x₀=1，
所以x₀=1，
（II）由题意设F（x）=f（x）-g（x）-

3

2

=lnx+

a

x

-

3

2

，
∵?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x）+

3

2

，
∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，
则F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，由F′（x）=0得，x=a，
F（x）、F′（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	递减	极大值	递增

当a≥e时，函数F′（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，
∴F（e）=1+

a

e

-

3

2

≥0，得a≥

e

2

，∴a≥e
当a＜e时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，
则F（a）为最小值，所以F（a）=lna+

a

a

-

3

2

≥0，得a≥

e

，
∴

e

≤a＜e                                      
综上，a≥

e

．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，分类讨论思想，考查了分析问题和解决问题的能力．