Question

抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1（n∈N^*），交x轴于A_n，B_n两点，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|值为______．

Answer 1

由已知A_n、B_n的横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
即A_n、B_n的横坐标为（n²+n）（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0的根．
故抛物线与x轴交点坐标为（

1

n

，0）和（

1

n+1

，0）
由题意，AnBn=

1

n

-

1

n+1

．
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

．
故答案为：

2008

2009

．