Question

（本题满分12分）

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且＋＝m（m∈R）．

    （1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；

    （2）当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）;

（2）x+2y+2=0．

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）由=及解得a²=4，b²=3，

椭圆方程为；再设出点A,B，利用点差法得到斜率。

（2）由（1）知，点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的坐标满足

点P的坐标为（1，）, m=-3，    于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，

因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．

，进而得到直线的方程。

解：（1）由=及解得a²=4，b²=3，

椭圆方程为；

设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）， 由得

（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即

又，，两式相减得

;

（2）由（1）知，点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的坐标满足，

点P的坐标为（1，）, m=-3，    于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，

因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．

∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-，∴AB中点坐标为（，），

又，，两式相减得

;

∴直线AB的方程为y+=（x+）,即x+2y+2=0．