Question

已知函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x（x∈R）的图象过点A（0，1），B（

π

4

，1），且b＞0，又f（x）的最大值为2

2

-1．
（Ⅰ）将f（x）写成含Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜x）的形式；
（Ⅱ）由函数y=f（x）图象经过平移是否能得到一个奇函数y=g（x）的图象？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用已知条件可得

a+c=1 a+b=1 a+ b2+c2 =2 2 -1

，解得a、b、c的值，即可得到f（x）满足条件的解析式．
（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=a+bsin2x+ccos2x=a+

b2+c2

sin(2x+φ)，tanφ=

c

b

，
由题意，可得

a+c=1 a+b=1 a+ b2+c2 =2 2 -1

，解得

a=-1 b=2 c=2

．
∴f(x)=-1+2sin2x+cos2x=2

2

sin(2x+

π

4

)-1．
（Ⅱ）将f（x）的图象向上平移1个单位得到函数f(x)=2

2

sin(2x+

π

4

)的图象，
再向右平移

π

8

单位得到y=2

2

sin2x的图象，而函数y=2

2

sin2x为奇函数，
故将f（x）的图象先向上平移1个单位，再向右平移

π

8

单位就可以得到奇函数y=g（x）的图象．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．