Question

15．求下列圆的标准方程：
（1）圆心是（4，-1），且过点（5，2）；
（2）圆心在y轴上，半径长为5，且过点（3，-4）；
（3）求过两点C（-1，1）和D（1，3），圆心在x轴上的圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由两点间距离公式计算可得圆的半径长r，代入圆的标准方程即可得答案；
（2）设圆心为C（0，b），则（3-0）²+（-4-b）²=5²，解可得b的值，即可得圆心坐标，代入圆的标准方程即可得答案；
（3）根据题意，求出段CD的垂直平分线的方程，进而求出其与x轴的交点，即可得圆心坐标，由两点间距离公式计算可得圆的半径长r，代入圆的标准方程即可得答案．

解答 解：（1）圆的半径长r，则r²=（5-4）²+（-1-2）²=10，
故圆的标准方程为（x-4）²+（y+1）²=10．
（2）设圆心为C（0，b），则（3-0）²+（-4-b）²=5²，
解得b=0或b=-8，则圆心为（0，0）或（0，-8）．
又∵半径r=5，
∴圆的标准方程为x²+y²=25或x²+（y+8）²=25．
（3）根据题意，直线CD的斜率k_CD=$\frac{3-1}{1+1}$=1，线段CD中点E的坐标为（0，2），
故线段CD的垂直平分线的方程为y-2=-x，
即y=-x+2，令y=0，得x=2，
即圆心为（2，0）．由两点间的距离公式，得r=$\sqrt{（2-1）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
所以所求圆的标准方程为（x-2）²+y²=10．

点评 本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆的位置关系，注意圆的标准方程的形式，求出圆心坐标以及半径．