Question

⑴证明：函数 f ( x ) =在区间( 0，)上是单调递减的函数（已知在区间( 0，)上有sin x < x < tan x）；

⑵证明：当0 < x <时，sin x >x；

⑶证明：当0 < x <时，sin x <?。

Answer 1

证明：⑴设0 < x ₁ < x ₂ <，则f ( x ₁ ) f ( x ₂ ) ==

=[ ( x ₂ sin x ₁ x ₁ sin x ₁ ) + ( x ₁ sin x ₁ x ₁ sin x ₂ ) ]

=[ ( x ₂ x ₁ ) sin x ₁ x ₁ ( sin x ₂ sin x ₁ ) ]

=[ ( x ₂ x ₁ ) sin x ₁ x ₁ ∙ 2 sincos]（∵ 0 <<，x ₂ x ₁ > 0，sin x < x）

>[ ( x ₂ x ₁ ) sin x ₁ x ₁ ∙ 2 ∙cos] （∵ cos x在区间( 0，)上是减函数）

>[ sin x ₁ x ₁ cos] =( tan x ₁ x ₁ )（∵ x < tan x）> 0，

∴ 函数 f ( x ) =在区间( 0，)上是减函数；

⑵由⑴中所证，f ( x ) =在区间( 0，)上是减函数，特别有当0 < x <时，f ( x ) > f ()，即>=，∴ 当0 < x <时，sin x >x；

⑶由于f ( x ) =在( 0，)上是减函数，∴ 当0 < x <时，f ( x ) > f ()，即sin x >x，

令t = x，则x = t（0 < t <），代入上式得sin ( t ) >( t )，即cos t > 1 t，∴ 1 2 sin ²> 1 t，∴ sin ²<∙，即sin<∙（0 < t <），改记= x，有0 < x <，即得sin x <?。