Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，
（1）证明：a＞0且-2＜

b

a

＜-1；
（2）证明：函数f（x）在（0，1）内有两个零点．

Answer 1

分析：（1）先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和

a

b

的范围即可．
（2）由（1）中结论，我们可以判断函数的对称轴在区间（0，1）之间，而且能判断出顶点纵坐标小于0，进而根据零点存在定理得到答案．

解答：证明：（1）∵f（0）＞0，∴c＞0，
又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式，
∴3a-2a-2c+c＞0，即a-c＞0，∴a＞c．
∴a＞c＞0．又∵a+b=-c＜0，∴a+b＜0．
∴1+

b

a

＜0，∴

b

a

＜-1．
又c=-a-b，代入①式得，
3a+2b-a-b＞0，∴2a+b＞0，
∴2+

b

a

＞0，∴

b

a

＞-2．故-2＜

b

a

＜-1．
（2）由（1）中-2＜

b

a

＜-1，
∴

1

3

＜

b

-3a

＜

2

3

即函数f（x）=3ax²+2bx+c图象的对称轴x=

b

-3a

在区间（0，1）上
又∵f（

b

-3a

）=

12ac-4b2

12a

＜0
故函数f（x）在（0，

b

-3a

），（

b

-3a

，1）内各有一个零点
故函数f（x）在（0，1）内有两个零点

点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．