Question

已知函数f（x）=

3-ax

a-1

（a≠1）在区间（0，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(0，

  3

  4

  ]
• B．（0，1）
• C．[

  3

  4

  ，1)
• D．(-∞，0)∪[

  3

  4

  ，1)

Answer 1

分析：函数的解析式若有意义，则被开方数3-ax≥0对x∈（0，4]恒有意义，分类讨论函数的单调性，最后综合讨论结果，可得实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=

3-ax

a-1

（a≠1），
①当a-1＞0，即a＞1时，此时分子t=

3-ax

为减函数，
∴f（x）在（0，4]上是减函数，不符合函数f（x）=

3-ax

a-1

（a≠1）在区间（0，4]上是增函数；
②当a-1＜0，即a＜1时，
∵f（x）在（0，4]上是增函数，
∴t=

3-ax

在（0，4]上为减函数，
∴a＞0，且3-ax≥0在区间（0，4]上成立，
∴

3-a×4≥0 a＞0

，解得，0＜a≤

3

4

．
综合①②，实数a的取值范围是(0，

3

4

]．
故选：A．

点评：本题主要考查函数的定义域及其单调性的应用，在解题时，要考虑定义域的限制，同时要注意复合函数单调性的判断，运用分类讨论的数学思想方法解题．一次函数的单调性与一次项系数的正负有关．属中档题．