Question

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(

x

)＞k•g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，即确定函数的值域；
（2）利用换元法化简函数，再对新变元分类讨论，同时结合分离参数法，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）h(x)=(4-2log2x)•log2x=-2(log2x-1)2+2…（2分）
因为x∈[1，4]，所以log₂x∈[0，2]，…（4分）
故函数h（x）的值域为[0，2]…（6分）
（2）由f(x2)•f(

x

)＞k•g(x)得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k•log₂x
令t=log₂x，因为x∈[1，4]，所以t=log₂x∈[0，2]
所以（3-4t）（3-t）＞k•t对一切的t∈[0，2]恒成立…（8分）
1°当t=0时，k∈R；…（9分）
2°当t∈（0，2]时，k＜

(3-4t)(3-t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

-15…（11分）
因为4t+

9

t

≥12，当且仅当4t=

9

t

，即t=

3

2

时取等号…（12分）
所以4t+

9

t

-15的最小值为-3…（13分）
综上，k∈（-∞，-3）…（14分）

点评：本题考查函数的值域，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，利用基本不等式求最值．