Question

设椭圆E:=1（）过点M（2，）, N（，1），为坐标原点

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）椭圆E的方程为；（II）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 

【解析】

试题分析：（I）将点M（2，） ，N(,1)的坐标代入椭圆的方程即得一方程组：解这个方程组得，从而得椭圆E的方程为 

（II）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 设该圆的切线方程为，联立方程组，利用韦达定理及找到k与m间的关系式，再利用直线与圆相切，看看能否求出这样的圆来，若能求出这样的圆，则说明存在，若不能求出这样的圆，则说明不存在

试题解析： （I）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，

所以解得所以椭圆E的方程为     4分

（II）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即   ，

则△=,即

,  7分

要使,需使,即,

所以,所以又,所以,

所以,即或,                  9分

因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,

所求的圆为,                       11分

此时圆的切线都满足或,

而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,                    12分　

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 

                                13分

考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系