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精英家教网如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=
π2
,点M、N分别在AB,CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙).
(1)求证:AB∥平面DNC;
(2)当DN的长为何值时,二面角D-BC-N的大小为30°?
分析:(1)证明AB所在平面MAB与平面DNC平行,即可证明AB∥平面DNC;
(2)过N作NH⊥BC交BC延长线于H,说明∠DHN为二面角D-BC-N的平面角,利用二面角D-BC-N的大小为30°,求出DN的长.
解答:解:(1)证明:∵MB∥NC,MB?平面DNC,NC?平面DNC,
∴MB∥平面DNC.
同理MA∥平面DNC,又MA∩MB=M,且MA、MB?
平面MAB∥平面NCD
AB?平面MAB
?
AB∥平面DNC.
(2)过N作NH⊥BC交BC延长线于H,
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∵平面AMND⊥平面MNCB,DN⊥MN,
∴DN⊥平面MBCN,从而DH⊥BC,
∴∠DHN为二面角D-BC-N的平面角.
由MB=4,BC=2,∠MCB=90°知∠MBC=60°,
CN=4-2cos60°=3,∴NH=3sin60°=
3
3
2

由条件知:tan∠NHD=
DN
NH
=
3
3

∴DN=NH•
3
3
=
3
3
2
• 
3
3
=
3
2
点评:本题考查直线与平面平行的判定,二面角及其度量,考查逻辑思维能力,空间想象能力,计算能力,是中档题.也可以通过空间直角坐标系的方法解答本题.
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.
2
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(Ⅰ)求证:AB∥平面DNC;
(Ⅱ)当DN=
3
2
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如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,,点M、N分别在AB、CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙)

(1)求证:AB∥平面DNC;
(2)当DN的长为何值时,二面角D-BC-N的大小为

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(本小题满分12分)

如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,,点M、N分别在AB、CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙)

(1)求证:AB∥平面DNC;

(2)当DN的长为何值时,二面角D-BC-N的大小为

 

 

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