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精英家教网精英家教网如图甲,直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,F为AD的中点,E在BC上,且EF∥AB,已知AB=AD=CE=2,现沿EF把四边形CDFE折起如图乙,使平面CDFE⊥平面ABEF.
(Ⅰ)求证:AD∥平面BCE;
(Ⅱ)求证:AB⊥平面BCE;
(Ⅲ)求三棱锥C-ADE的体积.
分析:(I)由已知可易AF∥BE,DF∥CE,结合线面平行的判定定理,我们易得AF∥面BCE,DF∥面BCE,再由面面平行的判定定理,可得面ADF∥面BCE,最后根据面面平行的性质得到AD∥平面BCE;
(Ⅱ)由已知中EF∥AB,AB⊥AD,得EF⊥AD,又由CE⊥EF,结合(1)中结论,及面面垂直的性质,我们易判断出CE⊥平面ABFE,再由线面垂直的性质得到CE⊥AB,再由AB⊥BE,即可得到AB⊥平面BCE;
(Ⅲ)由(2)中结论,我们易判断AF为三棱锥A-CDE的高,求出AF的长,及底面三角形CDE的面积,代入棱锥体积公式,即可得到答案.
解答:证明:(Ⅰ)由题意知AF∥BE,∴AF∥面BCE,同理,∵DF∥CE,
∴DF∥面BCE.AF∩DF=F,AF?面ADF,DF?面ADF,∴面ADF∥面BCE.
∵AD?面ADF,∴AD∥面BCE.(4分)
(Ⅱ)在图甲中,EF∥AB,AB⊥AD,∴EF⊥AD,∴在图乙中CE⊥EF.
∵平面CDEF⊥平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF∴CE⊥平面ABFE,
∴CE⊥AB,又AB⊥BE,∴AB⊥平面BCE.(8分)
(Ⅲ)∵平面CDEF⊥平面ABFE,AF⊥EF,∴AF⊥平面CDEF,(10分)
AF为三棱锥A-CDE的高,且AF=1,又AB=CE=2,
S△CDE=
1
2
×2×2=2
,∴VC-ADE=VA-CDE=
1
3
×2×1=
2
3
.(12分)
点评:本题考查的知识点是直线与平面平等的判断,棱锥的体积及直线与平面垂直的判定,熟练掌握空间直线与平面的位置关系的判定、性质及定义,建立良好的空间想像能力是解答立体几何问题的关键.
练习册系列答案
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精英家教网如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=
π2
,点M、N分别在AB,CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙).
(1)求证:AB∥平面DNC;
(2)当DN的长为何值时,二面角D-BC-N的大小为30°?

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(2009•湖北模拟)如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=
.
2
点M、N分别在AB,CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙).
(Ⅰ)求证:AB∥平面DNC;
(Ⅱ)当DN=
3
2
时,求二面角D-BC-N的大小.

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如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,,点M、N分别在AB、CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙)

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如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,,点M、N分别在AB、CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙)

(1)求证:AB∥平面DNC;

(2)当DN的长为何值时,二面角D-BC-N的大小为

 

 

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