执信中学某研究性学习小组经过调查发现.提高广州大桥的车辆通行能力可改善整个广州大道的交通状况.在一般情况下.桥上车流速度v是车流密度x的函数．统计发现.当桥上的车流密度达到180辆/千米时.造成堵塞.此时车流速度为0,当车流密度不超过30辆/千米时.车流速度是50千米/小时.研究表明:当30≤x≤180时.车流速度v是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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执信中学某研究性学习小组经过调查发现，提高广州大桥的车辆通行能力可改善整个广州大道的交通状况，在一般情况下，桥上车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．统计发现，当桥上的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度是
50千米/小时，研究表明：当30≤x≤180时，车流速度v是车流密度的一次函数；
（1）根据题意，当0≤x≤180时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流速度x多大时，车流量g（x）=x•v（x）可以达到最大？并求出最大值．（注：车流量指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得当0≤x≤30时v（x）的解析式，设出当30≤x≤180时的一次函数解析式，代入点求得一次函数解析式，最后分段写出函数v（x）的表达式；
（2）利用f（x）=x•v（x）求得函数f（x）的解析式，然后分段求出每一段内的最值，求最值中的最大者得答案．

解答： 解：（1）由题意：当0≤x≤30时，v（x）=50；当30≤x≤180时，v（x）=ax+b
再由已知得

30a+b=50

180a+b=0

，解得

a=-

b=60

---------（3分）
故函数v（x）的表达式为v(x)=

50 (0≤x≤30)

x+60 (30＜x≤180)

---------（5分）
（2）依题并由（I）可得g(x)=

50x (0≤x≤30)

x+60)x (30＜x≤180)

---------（6分）
当0≤x≤30时，g（x）为增函数，
故当x=30时，其最大值为50×30=1500---------（7分）
当30＜x≤180时，g(x)=(-

x+60)x=-

(x-90)2+2700≤2700---------（9分）
对比可得：当x=90时，g（x）在区间[0，180]上取得最大值为2700，即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值为2700辆/小时．---------（11分）
答：（1）函数v（x）的表达式v(x)=

50 (0≤x≤30)

x+60 (30＜x≤180)

（2）当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值为2700辆/小时．---------（12分）

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了分段函数解析式的求法，分段函数的最值得求法，分段函数的最值要分段求，是中档题．

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