Question

设函数f（x）=2x+

a

2x

-1（a为实数）
（1）当a=0时，若函数y=g（x）为奇函数．当x＞0时，g（x）=f（x）．求y=g（x）的解析式．
（2）当a＜0时，求关于x的方程f（x）=0的实根．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的定义转化设x＜0，则-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=1-2^-x，（x＜0），别忽视了x=0，
（2）2x+

a

2x

-1=0（a＜0），求解，再取对数，即可．

解答： 解：∵函数f（x）=2x+

a

2x

-1（a为实数）
∴当a=0时f（x）=2^x-1，
（1）∵函数y=g（x）为奇函数．当x＞0时，g（x）=2^x-1，
∴f（-x）=-f（x），
f（0）=0，
设x＜0，则-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=1-2^-x，（x＜0）
故g（x）=

2x-1，x＞0 0，x=0 1-2-x，x＜0

，
（2）函数f（x）=2x+

a

2x

-1（a＜0），
∵a＜0，∴函数f（x）=2x+

a

2x

-1（a＜0）在R上单调递增，
∵2x+

a

2x

-1=0（a＜0），
∴（2^x）²-2^x+a=0，
设t=2^x，t²-t+a=0，t＞0
∴t=

1+ 1-4a

2

，
x=log₂t=log₂

1+ 1-4a

2

，
故实根为log₂

1+ 1-4a

2

，

点评：本题考查了函数的性质，换元法求解方程的问题，求解函数解析式，难度不大．