若数列{bn}:对于n∈N*.都有bn+2-bn=d.则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如:若cn=是公差为8的准等差数列．(I)设数列{an}满足:a1=a.对于n∈N*.都有an+an+1=2n．求证:{an}为准等差数列.并求其通项公式:中的数列{an}的前n项和为Sn.试研究:是否存在实数a.使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在.请求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若c_n=

是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得数列S_n有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（I）：由已知a_n+a_n+1=2n（n∈N^*），a_n+1+a_n+2=2（n+1），即可得出a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．即可证明{a_n}为准等差数列．分n为奇偶数即可得出其通项公式．
（Ⅱ）分当n为偶数时，当n为奇数时，求出S_n．
当k为偶数时，令S_k=50，得k=10．再分别令S₉=50，S₁₁=50得出a即可．
解答：解：（Ⅰ）∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①
a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
所以，{a_n}为公差为2的准等差数列．
当n为偶数时，

，
当n为奇数时，

；
∴

．
（Ⅱ）当n为偶数时，

；
当n为奇数时，

．
当k为偶数时，

，得k=10．
由题意，有

；
或

．
当a=10时，S₉，S₁₀两项等于50；当a=-10时，S₁₀，S₁₁两项等于50；
所以，a=±10．
点评：正确理解新定义和分类讨论的思想方法等是解题的关键．

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（2013•日照一模）若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若c_n=

4n-1，当n为奇数时

4n+9，当n为偶数时.

则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得数列S_n有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

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