Question

2．已知函数f（x）=m（x-1）e^x+x²（m∈R）．
（1）若m=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x＜0，不等式x²+（m+2）x＞f′（x）恒成立，求m的取值范围；
（3）当m≤-1时，求函数f（x）在[m，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）m=-1时，写出f（x），然后求f′（x）=x（2-e^x），通过判断导数符号从而得出f（x）的单调区间；
（2）求出f′（x），可将原不等式变成x²+（m+2）x＞x（me^x+2），从而可得到$m＜-\frac{x}{1-{e}^{x}}$，可设$g（x）=-\frac{x}{1-{e}^{x}}$，通过求导，得到g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）-1}{（1-{e}^{x}）^{2}}$．这时再设eh（x）=e^x（1-x）-1，通过求导即可判断该函数的单调性，进一步判断g（x）的单调性，从而得出m的取值范围；
（3）得到f′（x）=x（me^x+2），令f′（x）=0从而可得到x=0，或$ln（-\frac{2}{m}）$，从而可对m讨论：m分成-2＜m≤-1，m=-2，和m＜-2三种情况，在每种情况里，通过判断导数符号，从而得出f（x）的最小值．

解答 解：（1）若m=-1，则f（x）=（1-x）e^x+x²，f′（x）=-xe^x+2x=x（2-e^x），e^ln2=2；
∴x＜0时，f′（x）＜0，0＜x＜ln2时，f′（x）＞0，x＞ln2时，f′（x）＜0；
∴f（x）的单调减区间为（-∞，0），（ln2，+∞），单调增区间为[0，ln2]；
（2）f′（x）=x（me^x+2）；
∴由不等式x²+（m+2）x＞f′（x）得，x²+（m+2）x＞x（me^x+2）；
∵x＜0；
∴x+m+2＜me^x+2；
∴m（1-e^x）＜-x；
1-e^x＞0；
∴$m＜\frac{-x}{1-{e}^{x}}$恒成立；
设g（x）=$\frac{-x}{1-{e}^{x}}$，$g′（x）=\frac{{e}^{x}（1-x）-1}{（1-{e}^{x}）^{2}}$，设h（x）=e^x（1-x）-1，则h′（x）=-xe^x；
∵x＜0；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在（-∞，0）上单调递增；
∴h（x）＜h（0）=0；
∴g′（x）＜0；
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x趋向0时，g（x）趋向1；
∴g（x）＞1；
∴m≤1；
∴m的取值范围为（-∞，1]；
（3）f′（x）=x（me^x+2），令f′（x）=0得x=0，或$ln（-\frac{2}{m}）$；
∴①若-2＜m≤-1，则$0＜ln（-\frac{2}{m}）≤ln2＜1$；
∴m≤x＜0时，me^x+2＞0，∴f′（x）＜0；0$＜x＜ln（-\frac{2}{m}）$时，e^xm+2＞0，∴f′（x）＞0；$ln（-\frac{2}{m}）＜x≤1$时，e^xm+2＜0，∴f′（x）＜0；
∴x=0时，f（x）取极小值-m≥1，又f（1）=1；
∴f（x）的最小值为1；
②若m=-2，则f′（x）=2x（1-e^x）；
∴m≤x＜0时，f′（x）＜0，0＜x≤1时，f′（x）＜0；
即f′（x）≤0；
∴f（x）在[m，1]上单调递减；
∴f（x）的最小值为f（1）=1；
③若m＜-2，则；
x＜0时，me^x+2＞0，∴f′（x）＜0，x＞0时，me^x+2＜0，∴f′（x）＜0；
即f′（x）≤0在[m，1]上恒成立；
∴f（x）的最小值为f（1）=1；
综上得，f（x）在[m，1]上的最小值为1．

点评 考查根据导数符号判断函数的单调性，及求函数的单调区间的方法，函数单调性定义的运用，根据导数求函数的极值及最值，根据函数单调性的定义求函数的最小值．