Question

11．求函数y=alnx+$\frac{1}{2}$x²+ax的单调递增区间．

Answer 1

分析 先求导数，y′=$\frac{{x}^{2}+ax+a}{x}$，可设f（x）=x²+ax+a，讨论判别式△的符号：△≤0时，便有y′≥0，这便得出原函数的单调递增区间为（0，+∞）；而△＞0时方程f（x）=0有两个不同实数根，求出该实数根，然后判断实数根是否在（0，+∞）上，从而判断y′的符号，这样即可得出原函数的单调区间．

解答 解：$y′=\frac{a}{x}+x+a=\frac{{x}^{2}+ax+a}{x}$，设f（x）=x²+ax+a；
①若△=a²-4a≤0，即0≤a≤4，则y′≥0；
∴原函数在（0，+∞）上单调递增；
即（0，+∞）是原函数的单调递增区间；
②若△＞0，即a＜0，或a＞4，令x²+ax+a=0，解得$x=\frac{-a±\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$；
1）a＜0时，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}＞0$，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}＜0$；
∴$0＜x＜\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$时，f′（x）＜0，x$＞\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$时，f′（x）＞0；
∴原函数的单调递减区间为$（0，\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}）$，单调递增区间为（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，+∞）；
2）a＞4时，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}＜0，\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}＜0$；
∴x＞0时，f′（x）＞0；
∴原函数的单调递增区间为（0，+∞）；
综上得，a≥0时，原函数的单调递增区间为（0，+∞），a＜0时，原函数的单调递减区间为（0，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$），单调递增区间为[$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，+∞）．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性，及求函数单调区间的方法，二次函数的取值和判别式△的关系，在解出f（x）=0后，一定要判断所得实根是否在（0，+∞）上，要熟悉二次函数的图象．