Question

12．在△ABC中，已知b=2，a=3，cosA=-$\frac{4}{5}$．
（1）求sinB；
（2）求sin（2B+$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 （1）由题意和同角三角函数基本关系可得sinA，由正弦定理可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$，代值计算可得；
（2）同理可得cosB，进而由二倍角公式可得sin2B和cos2B，代入sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{1}{2}$cos2B计算可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中b=2，a=3，cosA=-$\frac{4}{5}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴由正弦定理可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2×\frac{3}{5}}{3}$=$\frac{2}{5}$；
（2）由（1）知sinB=$\frac{2}{5}$，cosA=-$\frac{4}{5}$＜0，
∴A为钝角，B为锐角，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
∴sin2B=2sinBcosB=$\frac{4\sqrt{21}}{25}$
cos2B=cos²B-sin²B=$\frac{17}{25}$
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{1}{2}$cos2B
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4\sqrt{21}}{25}$+$\frac{1}{2}×\frac{17}{25}$=$\frac{12\sqrt{7}+17}{50}$

点评 本题考查解三角形，涉及正弦定理和和差角的三角函数公式以及同角三角函数基本关系，属中档题．