Question

4．函数f（x）的定义域为R，f（-1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+3的解集为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-1，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，+∞）

Answer 1

分析 可设F（x）=f（x）-（2x+3），从而只要求F（x）＞0的解集即可：求导数，并且可得到F′（x）＞0，这样F（x）在R上单调递增，根据条件可求出F（-1）=0，从而得出F（x）＞0时，便有x＞-1，这样即可得出原不等式的解集．

解答 解：设F（x）=f（x）-（2x+3），则F′（x）=f′（x）-2；
∵f′（x）＞2在R上恒成立；
∴F′（x）＞0在R上恒成立；
∴F（x）在R上单调递增；
又F（-1）=f（-1）-1=1-1=0；
∴F（x）＞0的解集为（-1，+∞）；
∴f（x）＞2x+3的解集为（-1，+∞）．
故选：B．

点评 考查构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断单调性的方法，以及函数单调性定义的运用．