Question

15．已知函数f（x）=lnx-mx，m∈R．
（1）若m=1，求曲线y=f（x）在点P（1，-1）处的切线方程；
（2）若f（x）没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，即可得到所求切线方程；
（2）f（x）没有零点，即为lnx=mx无正数解，即m=$\frac{lnx}{x}$的无正根，求得y=$\frac{lnx}{x}$的单调区间和极值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-x的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
曲线y=f（x）在点P（1，-1）处的切线为k=1-1=0，
则切线的方程为y=-1；
（2）f（x）没有零点，即为lnx=mx无正数解，
即m=$\frac{lnx}{x}$无正根，
由y=$\frac{lnx}{x}$的导数为y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，y′＜0，函数递减；当0＜x＜e时，y′＞0，函数递增．
即有x=e处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$．
即有$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$．
由于y=m和y=$\frac{lnx}{x}$没有交点，
则有m＞$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．