Question

【题目】在平面直角坐标系中，顶点为原点的抛物线，它是焦点为椭圆的右焦点.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于四点，求四边形的面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)求出椭圆的右焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，再根据焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程，即可出答案；

(2)根据已知可设直线，则直线，分别与抛物线方程联立，利用根与系数关系及焦半径公式，即可求出、，可得，利用基本不等式即可得解.

(1)椭圆的右焦点为，

所以抛物线的焦点为，顶点为原点，抛物线的方程为.

(2)由(1)知，抛物线的焦点是，

设直线，则直线，

联立，消去，得，

设，，则，，

所以，

设点，，同理可得，

所以

，当且仅当，即时，等号成立.

即四边形的面积的最小值为.