【题目】若对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,则称是“回归数列”.
(1)①前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由;
②通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由;
(2)设是等差数列,首项,公差,若是“回归数列”,求的值;
(3)是否对任意的等差数列,总存在两个“回归数列”和,使得成立,请给出你的结论,并说明理由.
【答案】(1)①是;②是;(2);(3)见解析.
【解析】
(1)①利用公式和 ,求出数列的通项公式,按照回归数列的定义进行判断;
②求出数列的前项和,按照回归数列的定义进行判断;
(2)求出的前项和,根据是“回归数列”,可得到等式,通过取特殊值,求出的值;
(3)等差数列的公差为,构造数列,可证明
、是等差数列,再利用等差数列前项和,及其通项公式,回归数列的概念,即可求出.
(1)①当时,,
当时,,当时,,,所以数列是“回归数列”;
②因为,所以前n项和,根据题意,
因为一定是偶数,所以存在,使得,
所以数列{}是“回归数列”;
(2)设是等差数列为,由题意可知:对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,即,取,得,解得,公差,所以,又;
(3)设等差数列=,
总存在两个回归数列,显然和是等差数列,使得,
证明如下:,
数列{}前n项和,
时,为正整数,当时,,
所以存在正整数,使得,所以{}是“回归数列”,
数列{}前n项和,存在正整数,使得,所以{}是“回归数列”,所以结论成立.
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【题目】如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,点E是AB的中点.
(1)求证:OE∥平面BCC1B1.
(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.
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【题目】给定数列{cn},如果存在常数p、q使得cn+1=pcn+q对任意n∈N*都成立,则称{cn}为“M类数列”.
(1)若{an}是公差为d的等差数列,判断{an}是否为“M类数列”,并说明理由;
(2)若{an}是“M类数列”且满足:a1=2,an+an+1=32n.
①求a2、a3的值及{an}的通项公式;
②设数列{bn}满足:对任意的正整数n,都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=32n+1﹣4n﹣6,且集合M={n|≥λ,n∈N*}中有且仅有3个元素,试求实数λ的取值范围.
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【题目】把圆分成个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同,设共有种方法.
(1)写出,的值;
(2)猜想 ,并用数学归纳法证明。
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【题目】高三年级有500名学生,为了了解数学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
12 | ||
4 | ||
合计 |
根据上面图表,求处的数值
在所给的坐标系中画出的频率分布直方图;
根据题中信息估计总体平均数,并估计总体落在中的概率.
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【题目】某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机用户(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行评分,评分的频数分布表如下:
女性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(Ⅰ)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不计算具体值,给出结论即可);
(Ⅱ)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望.
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【题目】我校举行“两城同创”的知识竞赛答题,高一年级共有1200名学生参加了这次竞赛.为了解竞赛成绩情况,从中抽取了100名学生的成绩进行统计.其中成绩分组区间为,,,,,其频率分布直方图如图所示,请你解答下列问题:
(1)求的值;
(2)若成绩不低于90分的学生就能获奖,问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人;
(3)根据频率分布直方图,估计这次平均分(用组中值代替各组数据的平均值).
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【题目】某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机用户(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行评分,评分的频数分布表如下:
女性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(Ⅰ)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不计算具体值,给出结论即可);
(Ⅱ)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望.
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