Question

【题目】把圆分成个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有种方法.

(1)写出，的值；

(2)猜想 ，并用数学归纳法证明。

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）根据题意，得；

（2）分析可得 ，用用数学归纳法证明即可

详解：

（1）

（2）．当时，首先，对于第1个扇形，有4种不同的染法，由于第2个扇形的颜色与的颜色不同，所以，对于有3种不同的染法，类似地，对扇形，…，均有3种染法．对于扇形，用与不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形颜色相同的情况，而扇形与扇形颜色相同的不同染色方法数就是，于是可得

猜想

当时，左边，右边，所以等式成立

假设时，，

则时，

即时，等式也成立

综上