Question

【题目】在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40，

从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）

因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，

故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米

（2）解：包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0， ），b≤60．

V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4 x+4x2）=x（3600﹣240x+4x）

=4x3﹣240x2+3600x．

当且仅当a=b=60时等号成立．

设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．

于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；

当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．

因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，此时a=b=60，x=10．

答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米

【解析】（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．