Question

【题目】现有 （n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：
设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn ．
（1）求p2的值；
（2）证明：pn＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知p2= = ，即p2的值为
（2）解：先排第n行，则最大数在第n行的概率为 = ；

去掉第n行已经排好的n个数，

则余下的 ﹣n= 个数中最大数在第n﹣1行的概率为 = ；

…

故pn= × ×…× = = ．

由于2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn≥Cn0+Cn1+Cn2＞Cn1+Cn2=Cn+12，

故 ＞ ，即pn＞

【解析】（1）由题意知p2= = ，（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为 = ，即可求出为pn ， 再根据二项式定理和放缩法即可证明．