Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．
（1）求a+b的值；
（2）若 恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

f（x）在区间（﹣∞，﹣b]上递减，在区间[﹣b，+∞）上递增，

所以f（x）min=a+b．

所以a+b=1．

（2）解：因为a＞0，b＞0，且a+b=1，

所以 ，

又因为 ，当且仅当 时，等号成立，

所以 时， 有最小值 ．

所以 ，所以实数m的最大值为

【解析】（1）写出分段函数，得出f（x）min=a+b，即可求a+b的值；（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代换，求最值，根据 恒成立，求实数m的最大值．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．