Question

【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧面ABB1A1是菱形，侧面BCC1B1是正方形，点A1在底面ABC的投影为AB的中点D．
（1）证明：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（2）设P为B1C1上一点，且 ，求二面角A1﹣AB﹣P的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵点A1在底面ABC的投影为AB的中点D，

∴A1D⊥平面ABC，则A1D⊥BC，

又∵侧面BCC1B1是正方形，∴B1B⊥BC，

∵B1B与A1D在平面ABB1A1上不平行，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∴平面AA1B1B⊥平面BB1C1C

（2）解：如图所示，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，

不妨设菱形边长为2，得D（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），

∵D为AB的中点，且有A1D⊥AB，∴AA1=A1B，

又∵平面ABB1A1为菱形，∴△A1AB为等边三角形，

从而 ，从而 ，

∴点A1的坐标为 ，

∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ ，

设平面ABP的法向量为 ，

由 ， ，

得 ，即 ，

令 ，则 ，y=0，∴ ，

同理求得平面ABB1A1的法向量 ，

∴ ，

∴ ，

从而二面角A1﹣AB﹣P的正弦值为 ．

【解析】（1）由点A1在底面ABC的投影为AB的中点D，可得A1D⊥平面ABC，则A1D⊥BC，再由已知可得B1B⊥BC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面ABB1A1 ， 从而得到平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（2）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设菱形边长为2，得到对应点的坐标，求出平面ABP与平面ABB1A1的法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角A1﹣AB﹣P的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．