Question

（2009•青浦区二模）（理）在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．
求：
（1）顶点D'到平面B'AC的距离；
（2）二面角B-AC-B'的大小．（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）利用空间向量来求点到平面的距离，必须先建立空间直角坐标系，找到已知点坐标，求出平面的法向量，再借助点到平面的距离公式d=

| n • AD′ |

| n |

来计算，其中

n

为平面的法向量，

AD′

为点D′与平面上任意一点的向量．
（2）欲求二面角的大小，只需求出两个平面的法向量的夹角，再借助图形判断，法向量的夹角是二面角的夹角，还是其补角．

解答：解：（1）如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为
A（1，0，0）、D（0，0，0）、C（0，2，0）、A'（1，0，1）、B'（1，2，1）、D'（0，0，1）．    
设平面B'AC的法向量为

n

=(u，v，w)，则

n

⊥

B′A

，

n

⊥

B′C

．
因为

B′A

=(0，-2，-1)，

B′C

=(-1，0，-1)，

n

•

B′A

=0，

n

•

B′C

=0，
所以

2v+w=0 u+w=0.

解得u=2v，w=-2v，取v=1，得平面B'AC一个法向量

n

=(2，1，-2)，
且|

n

|=3．                                                     
在平面B'AC取一点A，可得

AD′

=(-1，0，1)，于是顶点D'到平面B'AC的距离d=

| n  • AD′ |

| n  |

=

4

3

，
所以顶点D'到平面B'AC的距离为

4

3

，
（2）因为平面ABC的一个法向量为

n1

=(0，0，1)，设与

n

的夹角为α，则cosα=

n • n1

| n || n1 |

=-

2

3

，
结合图形可判断得二面角B-AC-B'是一个锐角，它的大小为arccos

2

3

．

点评：本小题主要考查空间距离、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法．