Question

（2009•大连二模）已知函数f（x）=-x³+ax-4在x=

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处取极值．
（I）求实数a的值；
（II）关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导数，把x=

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代入可得关于a的方程，解之可得a的值；（II）求f′（x），研究其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案．

解答：解：（I）由题意可得f′（x）=-3x²+2ax
由题意得f′（

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）=0，解得a=2，经检验满足条件．      …（2分）
（II）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，则f′（x）=-3x²+4x…（4分）
令f′（x）=0，则x=0，或x=

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（舍去）…（6分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

…（9分）
∵关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴-4＜m≤-3                                        …（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，涉及根的存在性及个数的判断，属中档题．